Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性

1 随机图生成简介

1.1 (G_{np})和(G_{nm})

以下是我学习《CS224W：Machine Learning With Graphs》^[1]中随机图生成部分的笔记，部分补充内容参考了随机算法教材^[2]和wiki^[3]。随机图生成算法应用非常广泛，在NetworkX网络数据库中也内置的相关算法。我觉得做图机器学习的童鞋很有必要了解下。

Erdos-Renyi随机图^[4]以两位著名的匈牙利数学家P.Erdős和A. Rényi的名字命名的，是生成随机无向图最简单和常用的方法，包括以下两种紧密相关的变体：

• (G_{np}): 拥有(n)个节点，且边((u, v))以独立同分布的概率(p)产生的无向图

• (G_{nm}): 拥有(n)个节点，且其中(m)条边按照均匀分布采样生成的无向图。

(八卦：最常被讨论的(G_{np})其实是Gilbert^[5]提出的，不过由于P.Erdős和A. Rényi提出的(G_{nm})更早一些，后来就将两种都统称Erdos-Renyi随机图了)

1.2 生成方法

• (G_{np})：按某个次序考虑(tbinom{n}{2})条可能边中的每一条，然后以概率(p)独立地往图上添加每条边。
• (G_{nm}): 均匀选取(tbinom{n}{2})条可能边中的一条，并将其添加为图的边，然后再独立且均匀随机地选取剩余(tbinom{n}{2}-1)可能边中的一条，并将其添加到图中，直到(m)边为止（可以证明，虽然是无放回采样，但是每次采样是独立的，任意一种(m)条边的选择结果是等概率的）。

值得一提的是，在(G_{np})中，一个有(n)个顶点的图具有(m)条边的概率满足分布：

该分布式二项分布，边的期望数为(tbinom{n}{2}p)，每个顶点度的期望为((n-1)p)。

1.3 两种方法比较

• 两者的相同点：节点数量都为(n)，且边数量的期望为(ptbinom{n}{2})；

• 两者的区别：(G_{np})的可能边数量在(tbinom{n}{2}p)上下波动，而(G_{nm})则恒定有(m)条边。

2 (G_{np})随机图

2.1 只用(n)和(p)够吗？

(n)和(p)并不能完全决定一个图。我们发现即使给定(n)和(p)，图也有许多实现形式。如当(n=10, p=1/6)时，就可能产生如下的图：

2.2 (G_{np})的图属性

接下来我们考虑给定(n)和(p)，图(G_{np})所可能拥有的不属性，包括度分布(p(k))、聚类系数(C)、连通分量、平均最短路径长度(bar{h})等。

• 度分布

(G_{np})的度分布是满足二项分布的，我们设(p(k))为任意节点度数的概率分布函数。当节点数(n)足够大时，(p(k))可视为对度为(k)的节点所占比例的近似。我们有：

其中(left(begin{array}{c} n-1 \ k end{array}right))表示从(n-1)个节点中选(k)个节点，(p)为边产生的概率。该分布是二项分布，所以我们有以下均值和方差：

二项分布的离散分布图像如下图所示：

当(n)足够大时，二项分布可以用正态分布去近似。

• 聚类系数

我们设

此处(e_i)为节点(i)邻居之间的边数，(k_i)为节点(i)的度，(tbinom{k_i}{2})为节点(i)的邻居间可能存在的边总数。由于(G_{np})中边都按照概率(p)独立同分布，我们有

其中(p)为节点(i)的邻居间两两结合的概率，(tbinom{k_i}{2})为节点(i)的邻居间可能存在的边总数。

我们进一步可推知聚类系数：

• 连通分量

图(G_{np})的图结构会随着(p)变化，如下图所示：

观察可知其中当巨大连通分量（gaint connected component）出现时，(p = 1/(n-1))，此时平均度(bar{k} = (n-1)p=1)。

平均度(k=1-varepsilon)(即小于1)时，所有的连通分量大小为(Omega(log n))；

平均度(k = 1 + varepsilon)（即高于1）时，存在一个连通分量大小为(Omega(n))，其它的大小为(Omega(log n))。且每个节点在期望值上至少有一条边。

如下图所示为(G_{np})中，(n=100000)，(bar{k}=(n-1)p=0.5,..., 3) 时的模拟实验图像：

根据模拟实验，在(G_{np})中，平均度大于1时，巨大连通分量恰好出现。

• 平均最短路径长度

Erdos-Renyi随机图即使扩展到很大，仍然可以保证节点之间只有几跳(hops)的距离，如下所示为图的平均最短路径长度(bar{h})随节点数量变化的关系图：

可以看到平均最短路径长度(bar{h})随着节点数量(n)增长并满足(O(log n))的增长阶。

2.3 真实网络和(G_{np})的对比

相似点： 存在大的连通分量，平均最短路径长度

不同点： 聚类系数，度分布

在实际应用中，随机图模型可能有以下问题：

• 度分布可能和真实网络不同，毕竟真实网络不是随机的。
• 真实网络中巨大连通分量的出现可能不具有规律性。
• 可能不存在局部的聚类结构，以致聚类系数太小。

3 代码库

NetworkX中内置了Erdos-Renyi随机图的生成函数，包括(G_{np})和(G_{nm})。就是需要注意(G_{np})的API^[6]是

erdos_renyi_graph(n, p, seed=None, directed=False) 

该API与nx.binomial_graph 、nx.gnp_random_graph作用是相同的。

而(G_{nm})的API^[7]是

nm_random_graph(n, m, seed=seed, directed=False) 

故大家在实际使用中要注意区分。

参考

• [1] http://web.stanford.edu/class/cs224w/

• [2]
  Mitzenmacher M, Upfal E. Probability and computing: Randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis[M]. Cambridge university press, 2017.

• [3] https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/随机图

• [4]
  Erdős P, Rényi A. On the evolution of random graphs[J]. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci, 1960, 5(1): 17-60.

• [5]
  Gilbert E N. Random graphs[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1959, 30(4): 1141-1144.

• [6] https://networkx.org/documentation/stable/reference/generated/networkx.generators.random_graphs.erdos_renyi_graph.html

• [7] https://networkx.org/documentation/stable/auto_examples/graph/plot_erdos_renyi.html?highlight=renyi