论文信息
论文标题：Predict then Propagate: Graph Neural Networks meet Personalized PageRank
论文作者：Johannes Gasteiger, Aleksandar Bojchevski, Stephan Günnemann
论文来源：2019,ICLR
论文地址：download
论文代码：download
1-Abstract
本文主要将 PageRank 算法引入到 GNNs ，提出了 PPNP 模型 和APPNP 模型。
2-Introduction
问题：
-
- 增大邻域范围，充分利用领域信息；【传播多层——消息传递机制的本质，也可以看做随机游走】
- 解决过平滑问题（一般均为传播多层造成的过平滑）；
受 带重启随机游走（random walk）的影响，本文利用 personalized PageRank 代替随机游走 ，来增加传送到根节点的机会，以避免过平滑现象（主要是更多的考虑根节点的邻域），此外该模型允许使用更多的传播层数。【通过 $text{Eq.4}$ 便于理解】
3 Graph convolutional networks and their limited range
半监督节点分类 GCN：
$boldsymbol{Z}_{mathrm{GCN}}=operatorname{softmax}left(hat{tilde{tilde{A}}} operatorname{ReLU}left(hat{tilde{tilde{A}}} boldsymbol{X} boldsymbol{W}_{0}right) boldsymbol{W}_{1}right) quadquadquad(1)$
其中，$hat{tilde{boldsymbol{A}}}=tilde{boldsymbol{D}}^{-1 / 2} tilde{boldsymbol{A}} tilde{boldsymbol{D}}^{-1 / 2}$。
存在的问题：【APPNP 所解决的问题 】
-
- 不能使用更多的传播层，因为会造成过平滑；
- 层数增加，参数量增加；
4 Personalized propagation of neural predictions
早起版本 PageRank：
$pi_{mathrm{pr}}=A_{mathrm{rw}} pi_{mathrm{pr}}, quadquadtext { with }quadquad A_{mathrm{rw}}=A D^{-1}$
以及考虑根节点信息，提出 personalized PageRank 算法：【类似带重启的随机游走，缓解过平滑】
其中：
-
- $hat{tilde{A}}=tilde{boldsymbol{D}}^{-1 / 2} tilde{boldsymbol{A}} tilde{boldsymbol{D}}^{-1 / 2}$；
- $i_x$ 表示初始根节点的特征；
计算得到平稳状态后的分布：
用单位矩阵代替指标向量 $i_x$ 得 personalized PageRank matrix：
$mathbf{Pi}_{mathrm{ppr}}=alphaleft(boldsymbol{I}_{n}-(1-alpha) hat{tilde{ A }}right)^{-1}$
$mathbf{Pi}_{mathrm{ppr}}$ 中的元素 $yx$ 可以理解为 节点 $x$ 对节点 $y$ 的影响分数 $I(x, y) propto Pi_{mathrm{ppr}}^{(y x)}$。【其实就是 节点 $x$ 转移到节点 $y$ 的概率值】
Note：上述式子可逆的时候需要满足 $frac{1}{1-alpha}>1$ 且不能为 $hat{tilde{A}}$ 的特征值。
借由上述阐述，得到 PPNP 模型：
$boldsymbol{Z}_{mathrm{PPNP}}=operatorname{softmax}left(alphaleft(boldsymbol{I}_{n}-(1-alpha) hat{tilde{ A }}right)^{-1} boldsymbol{H}right), quad boldsymbol{H}_{i,:}=f_{theta}left(boldsymbol{X}_{i,:}right)quadquadquad(3)$
Note：直接计算 $Pi_{mathrm{ppr}}$ ，具有高计算复杂度且需要 $mathcal{O}left(n^{2}right)$ 的内存空间。【APPNP 改进的地方】
APPNP 通过幂次迭代逼近 topic-sensitive PageRank 来实现线性计算复杂度。传播过程为：
$begin{array}{l}boldsymbol{Z}^{(0)} &=&boldsymbol{H}=f_{theta}(boldsymbol{X}) \boldsymbol{Z}^{(k+1)} &=&(1-alpha) hat{tilde{A}} boldsymbol{Z}^{(k)}+alpha boldsymbol{H} \boldsymbol{Z}^{(K)} &=&operatorname{softmax}left((1-alpha) hat{tilde{boldsymbol{A}}} boldsymbol{Z}^{(K-1)}+alpha boldsymbol{H}right)end{array}quadquadquad(4)$
这个迭代方案的收敛性证明如下：
在 PPNP 和 APPNP 中，影响每个节点的邻域的大小都可以通过传送概率 $alpha $ 进行调整。
附：图扩散
$mathcal{T}_{mathbf{A}}(mathbf{A})=sum_{k=0}^{infty} Theta_{k} mathbf{S}^{k}$
其中：
- $mathbf{S} in mathbb{R}^{N times N}$ 是广泛的转移矩阵
- $Theta$ 是加权系数，且 $sum_{k=0}^{infty} Theta_{k}=1 ， Theta_{k} in[0,1]$
Personalized PageRank (PPR) kernal
其中：
- $mathbf{S}=mathbf{D}^{-1 / 2} mathbf{A D}^{-1 / 2}$
- $Theta_{k}=alpha(1-alpha)^{k}$
得：
- $mathcal{T}_{mathbf{A}}^{P P R}(mathbf{A})=alphaleft(mathbf{I}_{n}-(1-alpha) mathbf{D}^{-1 / 2} mathbf{A} mathbf{D}^{-1 / 2}right)^{-1}$
5 Experimental setup
消息传递算法对 数据划分 和 权重初始化 都非常敏感。
不同模型在随机数据划分 和 随机权重初始化的标准差
6 Conclusion
在本文中，我们介绍了神经预测(PPNP)及其快速近似APPNP。我们通过考虑GCN和PageRank之间的关系并将其扩展到个性化PageRank来导这个模型。这个简单的模型解耦了预测和传播，并解决了许多消息传递模型中固有的有限范围的问题，而没有引入任何额外的参数。它使用来自一个大的、可调节的（通过传送概率 $alpha$）邻域的信息来对每个节点进行分类。该模型在计算上高效，优于目前最先进的研究，在多个图上的半监督分类方法。
