关于区间操作查找（前缀和与差分）+树状数组基础

技术分享 3年前 (2022-06-06) 0 999+

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今天学了前缀和和差分，为了避免我把它忘掉，我还是浅浅的记录一下吧

首先需要知道什么是前缀和与差分：

前缀和就是数组中某元素之前（包括此元素）的所有元素的和

设b[]为前缀和数组，a[]是原数组。

对于一维数组而言，某个元素的前缀和就是从这个数组的第0个元素到这个元素的所有元素之和。

即：

那么就可以对区间求和产生更深刻的理解：

对于求出一个区间[l,r]的所有元素之和，我们就可以将首元素的前缀和与末元素的前缀合相减。

代码如下：

而对于二维数组来说，每个元素的前缀和b[x][y]就是从a[0][0]到a[x][y]之间所有元素的和

比如b[3][1]，就可以如下图的方法表示：

而如果我想给一个区间求和，就直接表示为：

即：

那我要是想给一个区间求和，就可以表示为：

代码如下：

关于差分，就是将当前元素与前一个元素相减。

比如给定一个数组a[n]={1,3,7,5,2}，他的差分数组就是d[n]={1,2,4,-2,-3}

他的应用有很多，比如：给定一个序列，m次访问，每次输入两个一维坐x1,x2，并输入一个数c,代表这个数列从第x1个数到第x2个数之间的元素都加c，最后输出最新的序列。

对于这种题，先求出这个序列的差分数组d，每次询问让[L,R]+V转化为d[L]+V,d[R+1]-V ，最后再将新数组求一次前缀和即可。

对于二维差分

现在我要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +p

那如果开始位置+p，那根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分(所有的求和都增加了)，多影响了两个蓝色部分。所以在两个蓝色部分 -p 消除 +p 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -p 的影响，所以绿色部分 +p 消除影响

代码如下：

关于区间操作查找（前缀和与差分）+树状数组基础

关于lowbit()函数

lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值

比如12的二进制可以表示为1100，所以他的lowbit就是1*8等于8

关于他的代码实现也很简单

1 int lowbit(int x) 2 { 3     return x&(-x); 4     //实际上就是负数的补码运用  5 }

如何用lowbit()来维护其区间

设结点的编号为x，那么这个结点维护的区间就是 (x-lowbit(x),x] (注意区间的开闭）

c₁维护区间(1-lowbit(1)，1]即(0,1] 也就是A₁本身

c₂维护区间(2-lowbit(2)，2]即(0,2] A₁+A₂

c₃维护(2,3] A₃

c₄维护(0,4] A₁+A₂+A₃+A₄

c₅维护(4,5] A₅

c₆维护(4,6] A₅+A₆

c₇维护(6,7] A₇

c₈维护(0,8] A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆+A₇+A₈

不难发现，结点维护的叶结点（A单点区间）的个数就是其序号转换为二进制后lowbit的值

通过寻找规律，可以得到通式：

寻找树状数组的性质：

(性质1)每个内部结点C[x]保存以它为根的子树中所有叶结点的和。

(性质2)每个内部结点C[x]的子结点个数等于lowbit(x)的值。

(性质3)除树根以外，每个内部结点C[x]的父亲结点是C[x+lowbit(x)]

(性质4)树的深度为O(logN)

通过这些性质，我们可以进行一系列操作：

1、查询前缀和：

 1 int lowbit(x)  2 {  3     return x&(-x);  4 }  5   6 int sum(int x)//查询前缀和（c[x]的区间和）   7 {  8     int res=0;  9     while(x>0) 10     { 11         res=res+c[x]; 12         x=x-lowbit(x); 13     } 14     return res; 15 }

2.单点修改：

 1 int lowbit(int x)   2 {  3     return x&(-x);  4 }  5 void update(int x,int y)  6 //a[x]+y操作，并让他的长辈加y   7 {  8     while(x<=n)  9     { 10         c[x]+=y; 11         x+=lowbit(x); 12     } 13 }

3、区间和计算

int calculate(int x,int y) {     return sum(y)-sum(x-1); }

经典题目：

 1 #include<cstdio>  2 #include<iostream>  3 using namespace std;  4 int c[100001];  5 int n,m,k,a,b;  6 int lowbit(int x)  7 {  8     return x&(-x);  9 } 10  11 void update(int x,int v) 12 //单点修改（在x的位置上加v）  13 { 14     while(x<=n) 15     { 16         c[x]+=v; 17         x+=lowbit(x); 18     } 19 } 20  21 int sum(int x) 22 { 23     int res=0; 24     while(x>0) 25     { 26         res+=c[x]; 27         x-=lowbit(x); 28     } 29     return res; 30 } 31  32 int main() 33 { 34     int v; 35     scanf("%d%d",&n,&m); 36     for(int i=1;i<=n;i++) 37     { 38         scanf("%d",&v); 39         update(i,v); 40     }  41     for(int i=1;i<=m;i++) 42     { 43         scanf("%d%d%d",&k,&a,&b); 44         if(k==0) printf("%dn",sum(b)-sum(a-1)); 45         else update(a,b); 46     } 47     return 0; 48 }