一、朴素贝叶斯法原理
1.基本原理
朴素贝叶斯法(Naive Bayes)是一种基础分类算法，它的核心是贝叶斯定理+条件独立性假设。贝叶斯定理描述的是两个条件概率之间的关系，对两个事件A和B，由乘法法则易知$$(A∩B)=P(A)P(B│A)=P(B)P(A│B)$$
贝叶斯定理就是对这个关系式的变形，即
若把样本特征和类别作为对应的条件和条件概率，则贝叶斯定理可以用来解决分类问题。如对样本(x=left( x_1,x_2,...,x_n right))，所属类别为(y)，那么该特征下对应该类别的概率代入贝叶斯公式就是$$P(y|x_1,x_2,...,x_n)=frac{P(y)P(x_1,x_2,...,x_n|y)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$
贝叶斯分类法的思想就是计算样本特征对应于各类别的概率，以概率最大的作为分类输出。分母部分是特征的联合概率，可以进一步由全概率公式展开；分子部分由于含复杂的条件概率，使得直接的计算较复杂，因此这里做一个条件独立性假设，即认为样本的各维特征间是相互独立的，这是一个较强的假设，朴素贝叶斯也由此得名。在该条件之下，分子便可化为$$P(y)prod_{i=1}^{n}P(x_i|y)$$
注意到，在用于分类决策时，分母部分的值对于所有的类别都是相同的，要找出最大概率对应的类别，只考察分子即可。因此，朴素贝叶斯分类器表示为$$hat{y}=arg max_{y_k}{P(y_k)prod_{i=1}^{n}P(x_i|y_k)}$$
2.平滑处理
在离散特征的情形之下进行分类输出的概率计算，可能会出现概率为0的情况，如随机变量观测值的某一维并未在训练集中出现，那么它所属的条件概率为0，致使对应类别的后验概率为0，从而使分类产生偏差，这是不合理的，因此需进行一定的平滑处理。具体，就是在频率计算时，对每组统计的频数加上一个常数。
先验概率：(P(y_k)=frac{sum_{i=1}^{N}{I(y_i=y_k)+lambda}}{N+Klambda})
条件概率：(P(x_i|y_k)=frac{sum_{i=1}^{N}{I(x_i,y_i=y_k)+lambda}}{sum_{i=1}^{N}{I(y_i=y_k)+Slambda}})
当(lambda=1)时，称为拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)。
3.三个基本模型
根据特征随机变量的类型，分为伯努利朴素贝叶斯、多项式朴素贝叶斯、高斯朴素贝叶斯三种基本模型。
(1) 伯努利朴素贝叶斯
若特征随机变量符合的是离散型的二项分布，也就是仅布尔值，那么此时的模型称为伯努利朴素贝叶斯。从统计的角度，分类器表达式分子中的连乘运算对应于n次独立试验。
(2) 多项式朴素贝叶斯
若特征随机变量符合的是离散型的多项分布，那么此时的模型称为多项式朴素贝叶斯。同样地，分类器表达式分子中的连乘运算对应于n次独立试验。
(3) 高斯朴素贝叶斯
若特征随机变量是连续型的（如身高、体重），即假定它是符合高斯分布的（正态分布），概率的计算就是由已知的数据计算出高斯分布的两个参数（均值、标准差），进而由密度函数确定对应的取值，代入公式计算。同样地，分类器表达式分子中的连乘运算对应于n次独立试验。
二、示例
这里对多项式朴素贝叶斯分类模型举例。
训练集：
| 样本特征向量X | 类别Y |
|---|---|
| [1, 1, 2, 3] | 1 |
| [1, 2, 2, 4] | 2 |
| [1, 2, 3, 3] | 2 |
| [1, 2, 4, 4] | 3 |
| [1, 3, 3, 4] | 3 |
| [2, 2, 3, 4] | 1 |
| [2, 1, 3, 3] | 3 |
测试样本：[1, 2, 3, 4]
则类别集合为(Yinleft{ 1,2,3 right}) ,
(P(Y=1)=frac{2}{7}),(P(Y=2)=frac{2}{7}),(P(Y=3)=frac{3}{7}),
(Pleft( X_1=1|Y=1 right)=frac{1}{2}),(Pleft( X_2=2|Y=1 right)=frac{1}{2}),(Pleft( X_3=3|Y=1 right)=frac{1}{2}),
(Pleft( X_4=4|Y=1 right)=frac{1}{2}),(Pleft( X_1=1|Y=2 right)=1),(Pleft( X_2=2|Y=2 right)=1),
(Pleft( X_3=3|Y=2 right)=frac{1}{2}),(Pleft( X_4=4|Y=2 right)=frac{1}{2}),(Pleft( X_1=1|Y=3 right)=frac{2}{3}),
(Pleft( X_2=2|Y=3 right)=frac{1}{3}),(Pleft( X_3=3|Y=3 right)=frac{2}{3}),(Pleft( X_4=4|Y=3 right)=frac{2}{3}),
归属于类别1的概率：
归属于类别2的概率：
归属于类别3的概率：
归属于类别2的概率最大，因此分类输出为2。
三、Python实现
(1) 伯努利朴素贝叶斯
''' sklearn实现伯努利朴素贝叶斯分类。 ''' import numpy as np from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB ## 1.构造训练集和待测样本 #训练集数据 train_x=[ [1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 0], [1, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0] ] #训练集数据标签 train_y=[ 1, 2, 2, 3, 3, 1 ] #待测样本 test_x = [ [1, 2, 1, 2], [1, 1, 2, 2] ] #转为array形式 train_x = np.array(train_x) train_y = np.array(train_y) test_x = np.array(test_x) ## 2.定义分类器 bnbClf = BernoulliNB() ## 3.训练 Fit_bnbClf = bnbClf.fit(train_x,train_y) ## 4.预测 pre_y = Fit_bnbClf.predict(test_x) print('预测类别：') print(pre_y) 
(2) 多项式朴素贝叶斯
''' sklearn实现多项式朴素贝叶斯分类。 ''' import numpy as np from sklearn.naive_bayes import ComplementNB ## 1.构造训练集和待测样本 #训练集数据 train_x=[ [1, 1, 2, 3], [1, 2, 2, 4], [1, 2, 3, 3], [1, 2, 4, 4], [1, 3, 3, 4], [2, 2, 3, 4], [2, 1, 3, 3] ] #训练集数据标签 train_y=[ 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3 ] #待测样本 test_x = [ [1, 2, 3, 4], [1, 1, 1, 4] ] #转为array形式 train_x = np.array(train_x) train_y = np.array(train_y) test_x = np.array(test_x) ## 2.定义分类器 cnbClf = ComplementNB() ## 3.训练 Fit_cnbClf = cnbClf.fit(train_x,train_y) ## 4.预测 pre_y = Fit_cnbClf.predict(test_x) print('预测类别：') print(pre_y)
(3) 高斯朴素贝叶斯
''' sklearn实现高斯朴素贝叶斯分类。 ''' import numpy as np from sklearn.naive_bayes import GaussianNB #训练集数据 train_x=[ [1.1, 2, 3, 4], [1, 2.2, 3, 4], [1, 2, 3.3, 4], [1, 2, 3, 4.4], [1.1, 2.2, 3, 4], [1, 2, 3.3, 4.4] ] #训练集数据标签 train_y=[ 1, 2, 2, 3, 3, 1 ] #待测样本 test_x = [ [1.2, 2, 3, 4], [1, 2.3, 3, 4] ] #转为array形式 train_x = np.array(train_x) train_y = np.array(train_y) test_x = np.array(test_x) ## 2.定义分类器 gnbClf = GaussianNB() ## 3.训练 Fit_gnbClf = gnbClf.fit(train_x,train_y) ## 4.预测 pre_y = Fit_gnbClf.predict(test_x) print('预测类别：') print(pre_y)
End.
