所需的前置知识：
1）函数的概念
2）实数理论
3）极限理论（第0章）
4）导数与微分（第1章）
5）微分学基本定理（第2章）
定积分的发明源于对曲边形面积的研究。我们先看一个简单的例子：
求二次函数 (f(x)=x^2) 与直线 (x=0,x=1) 以及 (x) 轴围成的曲边形的面积 (S) 。
初看令人束手无策。对于一个素昧平生的新问题，我们还是要拿出微积分学的初心——“用有限逼近无限，用离散逼近连续”。最简单好求面积的图形是什么？矩形。那么，我们不妨将这图形切割成矩形。将区间 ([0,1]) 等分为 (n) 份，以每份的右端点的函数值为高，计算出面积和：
当 (ntoinfin) 时，(S_n) 趋于 (S) ，也就是：
得出结论 (S=frac{1}{3}) 。
更一般的，对于求函数 (f(x)) 与直线 (x=a,x=b) 以及 (x) 轴围成的曲边形的面积，我们如法炮制。首先从小到大取闭区间 ([a,b]) 内一定数量的点 (a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_{n-1}<x_n=b) ，取点可以不均匀（这在极限意义下都是无关紧要的），然后将两点之间的距离 (Delta x_i=x_{i}-x_{i-1} (1leqslant ileqslant n)) 作为矩形的底边。对每一个矩形底边 (Delta x_i) ，在区间 ([x_{i-1},x_i]) 内取一点 (xi_i) ，并以这一点的函数值 (f(xi_i)) 作为矩形的高，算出所有矩形面积之和：
然后取极限。注意到由于是不一定均匀的取点，单纯令 (ntoinfin) 是不能达到逼近曲边形面积的效果的（例如取区间 ([a,b]) 的 (1/2,1/4,1/8,cdots,1/2^n) 处），我们应令 (lambda=max{Delta x_i}to 0) ，也就是所有的底边长度的最大值趋于零，才能得到正确结果：
等式最右边就是定积分的定义式[^可积性]：
形象地看，定积分的符号就是将 (S) 拉长成 (int) ， (f(xi_i)) 写成 (f(x)) ， (Delta x) 写成 (text{d}x) ，并标上区间左右端点得到的。定积分是因其结果为定数而得名的。
附注：
此处的 (text{d}x) 在初期可以理解几何诠释中矩形的无穷小的底边，但它的实际作用是说明积分的变量。这要到后面的分部积分法和换元积分法的时候才会体现。
如上定积分的定义局限于 (a<b) 的情况，简单粗暴的补充：
就可以对任意的 (a,b) 做定积分了。
定积分满足如下显然的（所谓证明不过是套定义式罢了）运算法则：
((ⅰ)quad) 加减法则：(int_a^b{(f(x)pm g(x))text{d}x}=int_a^b{f(x)text{d}x}pmint_a^b{g(x)text{d}x} )
((ⅱ)quad) 系数法则：(int_a^b{kf(x)text{d}x}=kint_a^b{f(x)text{d}x}) （ (k) 为常数）
((ⅲ)quad) 连接法则：(int_a^b{f(x)text{d}x}+int_b^c{f(x)text{d}x}=int_a^c{f(x)text{d}x})
或许你已经准备计算一些常见函数的定积分了，但是……这个定义式几乎没有任何用处——绝大多数函数的求和是没办法计算的。别急，插个题外话，一切便豁然开朗。
求导是一种将函数变为另一个函数的运算（这被称为“算子”），如同定义了加法之后便要定义它的逆运算——减法，我们定义如下的求导的逆运算：
若两函数 (F(x),f(x)) 满足 (F'(x)=f(x)) ，就称：
[int{f(x)text{d}x}=F(x)+C ]其中 (C) 为任意常数，此运算称为对 (f(x)) 的不定积分， (F(x)) 称为 (f(x)) 的原函数。
常数 (C) 的存在，是由于常数不会影响求导结果。正因如此，不定积分的结果不是一个函数，而是一个函数集合 (mathbb{F}={F(x)+C | Cinmathbb{R}}) ，这也就是其被称为“不定”积分的缘故。
出于严谨，我们要检验一下不定积分的完备性，也就是不会出现 (G'(x)=f(x)) 且 (G'(x)notinmathbb{F}) ：
证明： (F'(x)=G'(x)) 当且仅当 (F(x)-G(x)) 为常数。
由前推后：令 (phi(x)=F(x)-G(x)) ，则 (phi'(x)=F'(x)-G'(x)=0) ，由【第2章 §2 —1. 定理零】，(phi(x)) 为常函数，得证。
由后推前：显然。
于是我们完备地得到了不定积分的定义。
根据不定积分的定义，有显然的恒等式：
我们把函数 (y=f(x)) 的导数写成微分之比 (y'=cfrac{text{d}y}{text{d}x}) 的形式，自然地约掉 (text{d}x) 得到：
于是，我们可以理解为： (int) 和 (text{d}) 是一对互逆运算！[1]
不定积分的相加和乘以系数有如下显然的运算法则：
对于函数 (u=f(x)) ，(v=g(x)) ：
((ⅰ)quad) 加减法则： (int{(u pm v)text{d}x}=int{u}text{d}x pm int{vtext{d}x})
((ⅱ)quad) 系数法则： (int{(kcdot u)text{d}x}=kcdotint{utext{d}x}) （ (k) 为常数）
但是不定积分的乘法和函数嵌套法则则涉及复杂的技巧（以至于它们甚至失掉了“乘法”和“嵌套”这两个基本的名字，改为了“分部积分法”和“换元积分法”），我们会专辟一节加以讨论，此处且按下不表。
读到此处你一定会发现一件怪事：定积分和不定积分的定义迥然不同，但它们却有极其形似的名称和记号。这一切都源于如下大名鼎鼎的微积分基本定理（又名牛顿-莱布尼茨定理）：
若 (F'(x)=f(x)) ，则：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=F(b)-F(a) ]我们有时记等号右侧为 (F(x)|_a^b) ，如同时记 (F(x)=int{f(x)text{d}x}) ，就能得到如下的优美式子：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=left.int{f(x)text{d}x}right|_a^b ]
是不是令人折服？现在运用拉格朗日中值定理证明之：
证明：若 (F'(x)=f(x)) ，则：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=F(b)-F(a) ]摆出定积分的定义式：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=lim_{lambdato0}{sum_{i=1}^{n}{f(xi_i)Delta x_i}} ]对于任意一段 ([x_{i-1},x_i]) ，由拉格朗日中值定理[2]，有：
[F(x_i)-F(x_{i-1})=f(c_i)Delta x_iqquad c_iin(x_{i-1},x_i) ]由于 (xi_i) 的选取是任意的，不妨令 (xi_i=c_i) ，那么：
[sum_{i=1}^{n}{f(xi_i)Delta x_i}= sum_{i=1}^{n}{f(c_i)Delta x_i}= sum_{i=1}^{n}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}= F(x_n)-F(x_0) ]所以：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=lim_{lambdato0}{sum_{i=1}^{n}{f(xi_i)Delta x_i}} =lim_{lambdato0}{(F(x_n)-F(x_0))}=F(b)-F(a) ]命题得证。
有了微积分基本定理，我们就自然地搭建起了微分和积分的桥梁。从现代的角度，这定理描述的是定积分和不定积分的关系。但在微积分草创之时，其意义则十分重大：从几何角度，“积分”就是求曲边图形面积，“微分”就是求曲线斜率；从物理角度，“积分”就是求连续变化系统的宏观状态，“微分”就是求连续变化系统的微观改变；微积分基本定理就是在说，以上这两对操作分别互逆！
有了微积分基本定理之后，我们就可以专心于“如何求不定积分”这一问题，定积分的内容将很少以重要的形式再出现了。
如下结论从证明的路线上来说，理应出现再微积分基本定理前边（至少是同时），但是从微积分基本定理回望它们会显得更容易理解。
积分中值定理
对于区间 ([a,b]) 上的函数 (f(x)) ，存在 (cin[a,b]) 使得：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=f(c)(b-a) ]令 (F(x)=int{f(x)text{d}x}) ，则由微积分基本定理结合拉格朗日中值定理：
[int_a^b{f(x)text{d}x}=F(b)-F(a)=F'(c)(b-a)=f(c)(b-a) ]
原函数存在定理
对于函数 (f(x)) ，如下的函数 (F(x)) 是其原函数：
[F(x)=int_a^x{f(t)text{d}t} ]给定自变量增量 (Delta x) ，则函数 (F(x)) 获得增量：
[Delta F=F(x+Delta x)-F(x) =int_a^{x+Delta x}{f(t)text{d}t}-int_a^x{f(t)text{d}t} =int_x^{x+Delta x}{f(t)text{d}t} ]根据积分的定义式，记 (f(x)) 在区间 ([x,x+Delta x]) 上的最大最小值分别为 (M(f),m(f)) ，有：
[m(f)Delta xleqslant int_x^{x+Delta x}{f(t)text{d}t}leqslant M(f)Delta x ]当 (Delta xto 0) 时，有 (lim m(f)=lim M(f)=f(x)) ，于是由夹逼定理：
[lim_{Delta xto 0}{frac{1}{Delta x}int_x^{x+Delta x}{f(t)text{d}t}}=f(x) ]套用导数的定义：
[F'(x)=lim_{Delta xto 0}{frac{Delta F}{Delta x}} =lim_{Delta xto 0}{frac{1}{Delta x}int_x^{x+Delta x}{f(t)text{d}t}} =f(x) ]意既 (F(x)) 是 (f(x)) 的原函数。
附注：
这一定理是微积分基本定理的另一种证法（抑或另一种形式）。许多求导与积分的结合，或这极限与积分的结合，往往可使用这一定理。
下面举一些简单但有趣的积分计算的例子：
计算函数 (sin x) 与 (x) 轴在区间 ([0,pi]) 上围成的面积 (S) 。
根据定积分的几何意义，以及由 ((cos x)'=-sin x) ，有：
[S=int_0^pi {sin xtext{d}x}=(-cos x)Big|_0^pi=cos 0-cospi=2 ]
两个函数所夹的面积
如图（文件 §2-3-2.ggb ）计算由 (f:y=x^2,g:y=sqrt{x+1},x=-1,x=2) 围成的阴影面积 (S) 。
首先算出 (f,g) 两函数的原函数（不妨令积分常数 (C=0) ）：
[F(x)=int{f(x)text{d}x}=frac{1}{3}x^3quad,quad G(x)=int{g(x)text{d}x}=frac{2}{3}(x+1)^{frac{3}{2}} ]我们将如图的阴影分为三块：以 (A,B,C) 为顶点的曲边三角状面积 (S_1) ，以 (C,D) 为顶点的叶子状面积 (S_2) ，以 (D,E,F) 为顶点的曲边三角状面积 (S_3) 。整个积分区间 ([-1,2]) 相应分为三段 ([-1,x_C],[x_C,x_D],[x_D,2]) （先不解出 (C,D) 的坐标），分别算出：
[S_1=int_{-1}^{x_C}{(f(x)-g(x))text{d}x}=(F(x)-G(x))Big|_{-1}^{x_C} =F(x_C)-G(x_C)-F(-1)+G(-1) \ S_2=int_{x_C}^{x_D}{(g(x)-f(x))text{d}x}=(G(x)-F(x))Big|_{x_C}^{x_D} =G(x_D)-F(x_D)-G(x_C)+F(x_C) \ S_3=int_{x_D}^{2}{(f(x)-g(x))text{d}x}=(F(x)-G(x))Big|_{x_D}^{2} =F(2)-G(2)-F(x_D)+G(x_D) qquad ]将上三项相加，带入 (x_C approx -0.724,x_D approx 1.221) ，得到 (S=S_1+S_2+S_3 approx 2.29) 。
运用积分夹逼
求证：(18leqslantdisplaystylesum_{x=1}^{100}{frac{1}{sqrt{x}}}leqslant 19)
由于下面两幅图（文件 §2-3-3.ggb ），其中橙色和蓝色部分是原和(-1) ，青色和黄色的部分是函数 (f(x)=frac{1}{sqrt{x}}) 在区间 ([2,100]) 和 ([1,99]) 上分别做的积分，
根据图像有 (S_{青}<S_{蓝}=S_{橙}<S_{黄}) ，因而我们可以得到：
[2sqrt{100}-2sqrt{2}=int_{2}^{100}{frac{1}{sqrt{x}}text{d}x}< sum_{x=2}^{100}{frac{1}{sqrt{x}}} <int_{1}^{99}{frac{1}{sqrt{x}}text{d}x}=sqrt{99}-sqrt{1} ]因此：
[18<2sqrt{100}-2sqrt{2}+1<sum_{x=1}^{100}{frac{1}{sqrt{x}}}<2sqrt{99}-2sqrt{1}+1<19 ]附注：
此题当然有初等解法。注意到：[sqrt{x+1}+sqrt{x}>2sqrt{x}>sqrt{x}+sqrt{x-1} \ frac{1}{sqrt{x+1}+sqrt{x}}<frac{1}{2sqrt{x}}<frac{1}{sqrt{x}+sqrt{x-1}} \ 2sqrt{x+1}-2sqrt{x}<frac{1}{sqrt{x}}<2sqrt{x}-2sqrt{x-1} ]因而原和满足（此处将 (x=1) 单列是为了夹逼的紧度）：
[1+sum_{x=2}^{100}{(2sqrt{x+1}-2sqrt{x})}<sum_{x=1}^{100}{frac{1}{sqrt{x}}}<1+sum_{x=2}^{100}{(2sqrt{x}-2sqrt{x-1})} \ 18<2sqrt{100}-2sqrt{2}+1<sum_{x=1}^{100}{frac{1}{sqrt{x}}}<2sqrt{99}-2sqrt{1}+1<19 ]然而认识到这一不等式，上两图的积分图像也是不可或缺的。
根据已经熟知的求导法则：
有对应的积分恒等式：
第一个式子被称为“分部积分法”。而第二个式子常写作
此时它起到将 (u) 换为 (x) 的作用，被称为“换元积分法”。如上两法的微分形式如下：
此两法的详细内容会在下一章讨论，此处先以两个例子感受一二：
(int{sec xtext{d}x})
令 (t=sin x) ，则 (text{d}x=frac{1}{cos x}text{d}t) ，代入原式：
[int{sec xtext{d}x} =int{frac{1}{cos x}text{d}x} =int{frac{1}{cos^2 x}text{d}t} =int{frac{1}{1-t^2}text{d}t} ]对于这个分式，采取裂项的手段处理（这也会在下一章详细讨论）：
[int{frac{1}{1-t^2}text{d}t} =frac{1}{2}int{frac{1}{1-t}text{d}t}+frac{1}{2}int{frac{1}{1+t}text{d}t} =frac{1}{2}ln{(1-t)}+frac{1}{2}ln{(1+t)}+C ]由于 (t=sin{x}in[-1,1]) ，故 (ln) 内不必带绝对值。回代 (t=sin x) ，并化简：
[frac{1}{2}ln{(1-t)}+frac{1}{2}ln{(1+t)}+C =ln{sqrt{frac{1-sin x}{1+sin x}}}+C =ln{verttan x+sec xrvert}+C ]得到答案：
[int{sec xtext{d}x}=ln{verttan x+sec xrvert}+C ]附注：
另有一极巧妙的做法：[begin{align*} int{sec xtext{d}x} & =int{frac{sec^2 x+tan xsec x}{sec x+tan x}text{d}x} \ & =int{ln'(sec x+tan x)cdot(sec x+tan x)'text{d}x} \ & =ln{verttan x+sec xrvert}+C end{align*} ]套用 (f(g(x))+C=int{f'(g(x))g'(x)text{d}x}) 。
(int{e^xsin xtext{d}x})
令 (u=e^x,v=sin x) ，套用两次分部积分法：
[begin{align*} int{e^xsin xtext{d}x} &=e^xsin x-int{e^xcos xtext{d}x} \ & =e^xsin x-left(e^xcos x-int{e^x(-sin x)text{d}x}right) \ & =e^x(sin x+cos x)-int{e^xsin xtext{d}x} end{align*} ]于是得出：
[int{e^xsin xtext{d}x}=frac{e^x}{2}(sin x+cos x) ]附注：此类形如 (e^xf(x)) 的积分常用分部积分法，通常最终会在等号右侧重现原积分。
反常积分，是指在积分区间内被积函数有未定义点或无穷点的定积分，这些点被称为“瑕点”。例如
就有 (-infin,-1,+1,+infin) 四个瑕点。
总可以通过拆分，将有多个瑕点的反常积分拆分成仅含有一个瑕点，并且瑕点位于积分上下界的反常积分。既然函数在瑕点处无定义，容易想到的处理方法是通过极限逼近。于是得到反常积分的定义（以下的 (c) 皆是函数无定义的点）：
我们尝试求一下本节开头的积分。有些初学者在可能会做如下论断：
由于被积函数 (cfrac{x}{x^2-1}) 是奇函数，所以
[begin{align*} int_{-infin}^{+infin}{frac{x}{x^2-1}text{d}x} & =lim_{tto+infin}{left(int_{-t}^{0}{frac{x}{x^2-1}text{d}x}+int_{0}^{t}{frac{x}{x^2-1}text{d}x}right)} \ & =lim_{tto+infin}{left(int_{0}^{t}{frac{-x}{x^2-1}text{d}x}+int_{0}^{t}{frac{x}{x^2-1}text{d}x}right)}=0 end{align*} ]
如此做的错误在于试图仅用一个字母解决两个极限。正确的做法是先算出不定积分：
然后老老实实按定义：
首先取出第一个积分：
依次计算剩余积分，得出的结果分别是 (-infin,+infin,-infin,infin,infin) ，这些无穷互不关联，于是原积分的结果是一个不存在的值。
所谓“面动成体”，积分给予了我们强大的计算面积的工具，那接下来自然就可以开始体积的计算。我们要解决的是称为“旋转体”的立体的体积。对于一个定义在区间 ([a,b]) 上的函数 (f(x)) ，我们将它与 (x) 轴、直线 (x=a,x=b) 围成的面积绕 (x) 轴旋转一周，求得到的立体的体积。
回到积分定义的本源，我们对曲边形的处理方法是将其分割成多个矩形小条，累加来近似。如果我们将这个矩形组成的近似物绕 (x) 轴旋转一周，则可以得到一组圆盘，每个圆盘的半径为矩形的高，也就是这一区间内某点的函数值，高为矩形的宽。因此，旋转体就可以横截成多个圆盘，累加来近似。
将思路落实成式子。首先分割区间 ([a,b]) 为点 (a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_{n-1}<x_n=b) ，然后将每两点之间的距离 (Delta x_i=x_{i}-x_{i-1} (1leqslant ileqslant n)) 作为圆盘的厚度，同时在每个区间 ([x_{i-1},x_i]) 内取一点 (xi_i) ，并以这一点的函数值 (f(xi_i)) 作为圆盘的半径，算出所有圆盘体积之和：
仿照积分定义的那个极限：
让我们以一个实例练手
求半径为 (r) 的球的体积。
球由半圆旋转而成。半径为 (r) 的半圆对应函数
[y=sqrt{r^2-x^2} qquad(-rleqslant xleqslant r) ]套用旋转体体积公式：
[V=int_{-r}^r{(sqrt{r^2-x^2})^2text{d}x} =int_{-r}^{r}{(r^2-x^2)text{d}x} =left(r^2x-frac{1}{3}x^3right)Big|_{-r}^r=frac{4pi}{3}r^3 ]就是我们熟悉的球的体积公式。如下图（文件 §3-3.ggb ，蓝色为球，绿色为推导过程中的圆盘）：
除了绕 (x) 轴旋转，还可以绕 (y) 轴旋转。此时的函数 (f(x)) 与 (x) 轴、直线 (x=a,x=b) 围成的面积旋转所得的立体，就可以如洋葱一般分割成数层柱壳，其中第 (i) 层的体积为 (nu_i=f(x_i)pi(x_{i+1}^2-x_i^2)) 。若直接将其累加套入极限，是无法整理成积分的形式的。我们可将其近似为以内层圆周长 (2pi x_i) 为长、柱壳厚度 (Delta x_i) 为宽、柱壳高度 (f(xi_i)) 为高的长方体，其体积为 (v_i=2pi x_i cdotDelta x_i cdot f(xi_i)) 。将其累加：
仿照积分定义的那个极限：
旋转体当然还可以由绕非 (x,y) 轴的轴旋转得到，统一的处理方法是将其变换为坐标轴之后再积分。
积分的作用还可拓展到一维领域——求曲线弧长。若要求函数 (y=f(x)) 再闭区间 ([a,b]) 内的函数图像曲线的长度，首先分割区间 ([a,b]) 为点 (a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_{n-1}<x_n=b) ，然后算出每两点之间对应的函数图像上的点之间的距离：
将这些距离累加并求极限：
注意到当 (lambdato 0) 时， (Delta x_ito 0) ，则根据导数的定义有 (cfrac{Delta y_i}{Delta x_i}sim f'(x)) ，于是：
我们尝试根据这个式子求圆的周长：
半径为 (r) 的半圆对应函数 (f(x)=sqrt{r^2-x^2}) ，则
[f'(x)=-frac{x}{sqrt{r^2-x^2}} ]套用弧长的公式：
[L=int_{-r}^r{sqrt{1+left(-frac{x}{sqrt{r^2-x^2}}right)^2}text{d}x} =int_{-r}^r{frac{text{d}x}{sqrt{r^2-x^2}}} ]换元 (x=rsin t) ，则 (text{d}x=rcos ttext{d}t) ，积分下限 ([-frac{pi}{2},frac{pi}{2}]) （注意定积分换元时要一并替换积分区间），原积分变为 （此区间内 (cos tgeqslant 0) ，无需讨论符号）：
[L=int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}{frac{rcos ttext{d}t}{sqrt{r^2-(rsin t)^2}}}=int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}{rtext{d}t} =rtBig|_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}=pi r ]因此圆的周长 (C=2L=2pi r) 。
将曲线绕着轴旋转，就可以得到旋转曲面。读者可仿照求旋转体体积，自行推导如下两个绕 (x,y) 轴旋转得到旋转曲面的表面积：
我们考虑一维空间中的情况[3]。经典力学中，质量为 (M,m) 、相距 (x) 的两物体之间的万有引力的方向指向对方，其大小可看作关于 (x) 的函数：
假定在原点有一质量为 (M) 的质点，定义无穷远点为势能零点。首先计算质量为 (m) 的质点从无穷远点移动到 (r_0) 点过程中万有引力 (F) 做的功。我们取足够远的一点 (r_1) ，将移动过程 ([r_0,r_1]) 分为 (n) 段，假定每一段上 (F) 不变，累加所作的功（此时引力方向与移动方向相同，功为正）：
使区间长 (lambdato 0) ，右端点 (r_1to infin) ，得到引力做的功的定义：
这是一个反常积分。做出不定积分：
代回原反常积分得到答案：
由于无穷远点为势能零点，因此 (r_0) 点的万有引力势能：
我们考虑一维空间中的情况[4]。在狭义相对论体系中，两个相对速度为 (u) 的惯性系满足洛伦兹变换：
若对于一个惯性系有一个速度为 (v) 的物体，那么另一个惯性系中此物体的速度
假设有两个相对速度为 (u) 的惯性系 (S,S') ，质量均为 (m_0) 的两个质点分别相对于 (S,S') 静止。两质点相撞后合并为一个质点 (M) ，其相对于 (S,S') 的速度分别为 (v,v') 。假定参考系中物体的质量 (m) 是速度的大小 (|v|) 的函数。那么由于质量和动量守恒，对于两个惯性系分别有：
于是得到 (v'=-v) ，又根据惯性系间的速度变换 （显然，(u>v)）：
因此：
于是可定义定义质量为 (m) 速度为 (v) 的质点的动量 (p) 为：
从而质点如此运动时所受的力 (F) 为：
同【§4—1】中的功的定义，此力 (F) 在区间 ([0,s]) 上做功：
根据动量的定义计算其导数：
带回原积分：
记洛伦兹因子 (gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}) 。由于合外力对物体做的功等于动能的改变量，假设初始动能为 (0) ，那么点 (s) 的动能就为 (E_k=gamma mc^2-mc^2) 。我们视第一部分 (gamma mc^2) 为总能量，第二部分 (E=mc^2) 为静能，就得到了质能方程。
平面内有无穷条相距 (a) 的平行线，将长度为 (b) 的针丢在平面内，求针与平行线相交的概率。
首先将问题转化为数学模型。我们可以用数对 ((x,theta)) 描述针在平面内的位置，其中 (x) 表示针的中点到距离最近的平行线的距离， (xin[0,frac a 2]) ；(theta) 表示针与平行线的夹角， (thetain[0,frac pi 2]) 。则针与平行线相交就可以描述为如下不等式：
我们将满足解的数对 ((x,theta)) 表在平面内，就会形成如下蓝色区域：
我们所求的概率就是蓝色区域面积与棕色矩形面积之比。在用积分求出蓝色区域面积之前，要注意到当 (b>a,sintheta>frac a b) 时，蓝色区域会被限制成矩形，此时要分开求积分。于是：
当 (bleqslant a) 时，
当 (b>a) 时，
综合起来：
读者可自证：给定 (a) ，总有 (0<P<1) ， (P) 随 (b) 的增大严格减小，当 (btoinfin) 时 (Pto 1) 。
这个实验在历史上曾用来估计 (pi) 的大小，不少人做过此实验（下随意取几例）：
| 试验者 | 时间 | 投掷次数 | 相交次数 | (pi) 估计值 |
|---|---|---|---|---|
| Smith | 1855年 | 3204 | 1218.5 | 3.1554 |
| Lazzerini | 1901年 | 3408 | 1808 | 3.1415929 |
| Reina | 1925年 | 2520 | 859 | 3.1795 |
而其中多数要么很不精确，要么有造假之嫌。这个实验的“用概率估值”的精神被大名鼎鼎的蒙特卡洛方法继承，现在在计算机领域仍广为应用。
求平面内线密度 (rho) 的曲线 ((x(t),y(t)),tin[a,b]) 对质量为 (m) 的质点 ((p,q)) 的引力的大小。
老规矩，分割区间 ([a,b]) ，近似计算出每一段的质量：
取每一段上的一点 ((xi_i,psi_i)) ，算出其到质点的距离：
计算出此段对质点的引力大小：
将力分解到坐标轴方向上：
求和求出合力，并套入极限：
于是这个引力的大小就是 (F=sqrt{F_x^2+F_y^2}) 。
本章介绍了积分的定义、基本计算方法和其应用。狭义来说，积分是微分的逆操作（这将在第五章微分方程充分体现）。广义来说，对某一个函数的“累积”操作总可以抽象成关于这个函数的一个积分（积分甚至不一定连续，例如在数论中狄利克雷卷积就可以视作一种“积分”），再加以解决。积分也因此广泛地应用于物理、信息等各个领域。在下一章节，我们将介绍对于各种常见形式的积分的计算方法，那将是一个纯粹技术性的章节。
另一种理解是将 (int{text{d}y}) 视作函数 (f(y)=1) 的积分，那么如上的操作就是下一节的换元积分法。 ↩︎
这里拉格朗日中值定理的使用条件，应由函数的可积性保证。详细的讨论会十分繁琐，并会涉及测度论等高深内容。读者仅需理解为“大部分常见的连续可导函数都可积”即可。 ↩︎
势能的定义实则是很复杂的，涉及到多维空间中的定向、零点的选取、积分是否与路径相关等。这里采取的是一维空间中的方便的简化。 ↩︎
以下内容参考了微信公众号“长尾科技”的文章你也能懂的质能方程E=mc²。 ↩︎
