研究了LCA，写篇笔记记录一下。
讲解使用例题 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）。
什么是LCA
最近公共祖先简称 LCA（Lowest Common Ancestor）。两个节点的最近公共祖先，就是这两个点的公共祖先里面，离根最远的那个。
—— 摘自 OI Wiki
比如下图红、黄两点的LCA就是绿点。
LCA的几种实现方式
向上标记法
从 x 点一直向上走直到到达根节点，在走的过程中标记所有经过的点。
从 y 点一直向根节点走，遇到的第一个标记过的点即为两点的LCA。
代码略
树上倍增法
首先，我们将要求、lca的两点跳到同一深度，如下图：
然后两点同时向上从大到小倍增，直到到的两点不相同，继续往上跳。
先尝试向能跳的最远处跳（4步）。
我们发现两个点在同处汇合，不行，考虑少跳一半（2步）。
不同点，跳上。继续少跳一半（1步）。
同一个点，不跳。
此时，所有的跳跃尝试结束。由于目前两点不在同处，故再往上跳一步。
于是就找到这两个点的LCA啦！
（是不是讲的云里雾里的，结合代码理解一下吧~）
代码实现
- dfs获取每个点的深度
int p[N], dep[N]; void dfs(int x, int f) { p[x] = f; for (int i = last[x]; i; i = e[i].next) { //我用邻接表存的图 int v = e[i].to; if (v == f) continue; dep[v] = dep[x] + 1; dfs(v, x); } } dep[s] = 1; dfs(s, s); //将起点的父节点设为自己，这样跳多了也不会出锅 - 预处理倍增跳到的点
for (int i = 1; i <= n; i++) f[0][i] = p[i]; for (int j = 1; j <= lg; j++) // 跳 2^j 步 lg 为 log2(n) for (int i = 1; i <= n; i++) // 第 i 个点 f[j][i] = f[j - 1][f[j - 1][i]]; // 跳 2^j 步到的点即为先跳 2^(j-1) 步再跳 2^(j-1) 步到的点 - 处理LCA
（没有写成函数QAQ）
int a = read(), b = read(); if (dep[a] > dep[b]) swap(a, b); //使 a 的深度小于等于 b for (int i = lg; i >= 0; i--) if (dep[f[i][b]] >= dep[a]) b = f[i][b]; //将 a 与 b 跳到同一深度 for (int i = lg; i >= 0; i--) //从最远的距离开始尝试 （跳 2^i 步） if (f[i][b] != f[i][a]) b = f[i][b], a = f[i][a]; //不是同一个点就跳上去 if (a != b) a = p[a]; //结束后不是同一个点，那么LCA就是目前这个点的父节点，所以也可以写成 b = p[b] 然后输出 b printf("%dn", a); - 为什么尝试跳只用从 log2(n) 循环一遍到 0 就行？
按照代码思路，我们会先尝试沿紫色路径跳 2^j 步，由于不成功，我们折半跳 2^(j-1) 步，沿粉边跳上。
此时若在沿蓝边跳 2^(j-1) 步，又跳到了原来粉边指向的点，我们已经知道那个点不行，所以不用尝试跳上，而应该继续尝试跳 2^(j-2) 步。
完整代码（点击查看）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long inline ll read() { ll s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-') w = -1; ch = getchar();} while (ch >= '0' && ch <= '9'){s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();} return s * w; } const int N = 500010; int n, m, s; int last[N], cnt; struct edge { int to, next; } e[N << 1]; void addedge(int x, int y) { e[++cnt].to = y; e[cnt].next = last[x]; last[x] = cnt; } int p[N], dep[N]; void dfs(int x, int f) { p[x] = f; for (int i = last[x]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].to; if (v == f) continue; dep[v] = dep[x] + 1; dfs(v, x); } } int f[19][N], lg; int main() { n = read(), m = read(), s = read(); lg = log2(n); for (int i = 1; i < n; i++) { int u = read(), v = read(); addedge(u, v), addedge(v, u); } dep[s] = 1; dfs(s, s); for (int i = 1; i <= n; i++) f[0][i] = p[i]; for (int j = 1; j <= lg; j++) for (int i = 1; i <= n; i++) f[j][i] = f[j - 1][f[j - 1][i]]; while (m--) { int a = read(), b = read(); if (dep[a] > dep[b]) swap(a, b); for (int i = lg; i >= 0; i--) if (dep[f[i][b]] >= dep[a]) b = f[i][b]; for (int i = lg; i >= 0; i--) if (f[i][b] != f[i][a]) b = f[i][b], a = f[i][a]; if (a != b) a = p[a]; printf("%dn", a); } return 0; } LCA的Tarjan算法
本质来说，其实就是用并查集对“向上标记法”进行优化。
注意：操作是离线的。
从根节点开始进行 DFS，对于每个搜到的点打上标记，在回溯时将该结点并入其父节点的集合，具体操作见下。
- 如何离线？
我们先把 m 次询问都读入，然后再相关的两个结点上分别挂上询问。
- 为什么要两点都挂上询问
因为我们并不知道两个点谁先访问谁后访问，不好处理。
比如现在给一棵树，询问红、黄两点的 LCA 。
我们对这棵树进行 DFS，目前已经搜到了黄点，上方的三个不同深度的橙点表示 DFS 过程中栈里的点。
由于已经搜过了根节点的左子树，所以红点已打过标记。根节点的左子树与根节点属于一个集合，第二层的黄点的左子树与它自己属于一个集合。
现在在黄点上打个标记，发现黄点上挂的关于红点的询问可以处理了（两点都已搜到）。
红、黄两点的LCA即为红点所在集合的根节点，即图中树的根节点。
（讲的有亿点点乱诶）
代码实现
- 存储询问
struct node { //为了保证输出顺序，不仅要把询问挂在点上，还要额外存一下 int x, y, ans; } ask[N]; vector <int> g[N]; //每个点上挂的询问 for (int i = 1; i <= m; i++) { ask[i].x = read(), ask[i].y = read(), ask[i].ans = -1; g[ask[i].x].push_back(i); g[ask[i].y].push_back(i); } - DFS
int p[N]; bool vis[N]; //访问标记 int r[N]; //一个集合实际的根节点（并查集是按秩合并的，根节点不能保证是我们要的根节点） void dfs(int x, int f) { p[x] = f; for (int i = last[x]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].to; if (v == f) continue; vis[v] = 1; for (int j : g[v]) { //遍历所有询问 int o = ask[j].x; if (o == v) o = ask[j].y; if (!vis[o]) continue; ask[j].ans = r[a.root(o)]; //记录询问答案 } dfs(v, x); a.merge(x, v); //合并两个集合 r[a.root(x)] = x; //标记实际根节点 } } vis[s] = 1; dfs(s, s); 完整代码（点击查看）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long inline ll read() { ll s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-') w = -1; ch = getchar();} while (ch >= '0' && ch <= '9'){s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();} return s * w; } const int N = 500010; int n, m, s; struct Disjoint_Set { int p[N], size[N]; void build() { for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i, size[i] = 1; } int root(int x) { if (p[x] != x) return p[x] = root(p[x]); return x; } void merge(int x, int y) { x = root(x), y = root(y); if (size[x] > size[y]) swap(x, y); p[x] = y; size[y] += size[x]; } bool check(int x, int y) { x = root(x), y = root(y); return x == y; } } a; int last[N], cnt; struct edge { int to, next; } e[N << 1]; void addedge(int x, int y) { e[++cnt].to = y; e[cnt].next = last[x]; last[x] = cnt; } struct node { int x, y, ans; } ask[N]; vector <int> g[N]; int p[N]; bool vis[N]; int r[N]; void dfs(int x, int f) { p[x] = f; for (int i = last[x]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].to; if (v == f) continue; vis[v] = 1; for (int j : g[v]) { int o = ask[j].x; if (o == v) o = ask[j].y; if (!vis[o]) continue; ask[j].ans = r[a.root(o)]; } dfs(v, x); a.merge(x, v); r[a.root(x)] = x; } } int main() { n = read(), m = read(), s = read(); a.build(); for (int i = 1; i <= n; i++) { r[i] = i; } for (int i = 1; i < n; i++) { int u = read(), v = read(); addedge(u, v), addedge(v, u); } for (int i = 1; i <= m; i++) { ask[i].x = read(), ask[i].y = read(), ask[i].ans = -1; g[ask[i].x].push_back(i); g[ask[i].y].push_back(i); } vis[s] = 1; dfs(s, s); for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%dn", ask[i].ans); return 0; } LCA转RMQ
先贴代码吧，讲解后续再补
咕咕咕
完整代码（点击查看）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long inline ll read() { ll s = 0, w = 1; char ch = getchar(); while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-') w = -1; ch = getchar();} while (ch >= '0' && ch <= '9'){s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();} return s * w; } const int N = 500010; int n, m, s; int last[N], cnt; struct edge{ int to, next; } e[N << 1]; void addedge(int x, int y) { e[++cnt].to = y; e[cnt].next = last[x]; last[x] = cnt; } int dep[N], a[N << 1], ed, fst[N]; void dfs(int x, int f) { a[++ed] = x; if (!fst[x]) fst[x] = ed; for (int i = last[x]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].to; if (v == f) continue; dep[v] = dep[x] + 1; dfs(v, x); a[++ed] = x; } } int f[21][N << 1], lg; int main() { n = read(), m = read(), s = read(); lg = log2(n) + 1; for (int i = 1; i < n; i++) { int x = read(), y = read(); addedge(x, y), addedge(y, x); } dep[s] = 1; dfs(s, s); for (int i = 1; i <= ed; i++) f[0][i] = i; for (int j = 1; j <= lg; j++) { for (int i = 1; i <= ed - (1 << j) + 1; i++) { int i2 = i + (1 << (j - 1)); if (dep[a[f[j - 1][i]]] < dep[a[f[j - 1][i2]]]) f[j][i] = f[j - 1][i]; else f[j][i] = f[j - 1][i2]; } } for (int i = 1; i <= m; i++) { int x = read(), y = read(); if (fst[x] > fst[y]) swap(x, y); int len = fst[y] - fst[x] + 1, ans; int lg2 = log2(len); int i2 = fst[y] - (1 << lg2) + 1; if (dep[a[f[lg2][fst[x]]]] < dep[a[f[lg2][i2]]]) ans = a[f[lg2][fst[x]]]; else ans = a[f[lg2][i2]]; printf("%dn", ans); } return 0; } 
